Kelly 仓位：按波动率的整个区间计算，而不是一个数

Kelly 不再假设实现波动率事先已知。 它现在对实现波动率实际可能落入的区间取平均：预测值上下约 ±25 %，且偏高一侧比偏低一侧略重。大多数卖权利金的交易仓位变小；买波动率的交易和 debit spread（借方价差）略微变大。

• ±25 %：预测值周围的区间（对数离散度 0.253），每个期限都一样。对 25 % 的预测，到期前的实现波动率有五分之四的时间落在约 17 % 到 35 % 之间。
• 0.68×：铁鹰式（iron condor）的 Kelly 比例中位数，相对于只用一个数计算（看板上 11 个铁鹰式）。
• 25 / 22：仓位变大 / 变小的看板推荐（共 47 个可交易推荐）。
• 0.148 → 0：中证1000股指期权（IM）上一个深度 out-of-the-money（OTM，虚值）的 bull put spread（牛市看跌价差）。它在整个区间上的期望值为负，所以 Kelly 不下注。
• +10 %：看板上每 ¥100 万的合约数（1,368 → 1,505）。

不变的部分：expected value（EV，期望值）、评分、成本检查，以及每张卡片上的优势期望值（edge EV）。变化的只有 Kelly 比例、半 Kelly 仓位、合约数和评级。

Kelly 仓位是什么，为什么只用一个数会下注过多

Kelly criterion（凯利公式）选出投入风险的资金比例，使财富长期增长最快。对一笔期权交易来说，押上的是它的最大亏损：投入组合的比例 f，就是买入 f × 组合 / 最大亏损 张合约。Kelly 在到期时所有可能的结果上，最大化对数增长的期望：

f* = argmax over f in [0, 1) of   Σ probability_i × log(1 + f × P&L_i / max loss)

本站把这个满仓比例显示为评级（10 % 起为 strong（强），2 % 起为 moderate（中），以下为 marginal（弱）），并建议取一半，且每笔不超过组合的 5 %，因为满仓 Kelly 对输入的误差非常敏感。

各个结果的概率来自到期价格的分布，而这个分布最主要取决于一个数：标的实际会波动多少，即 realised volatility（RV，实现波动率）。本站的预测是 0.95 × at-the-money（ATM，平值）implied volatility（IV，隐含波动率）（原因；本研究进行时是 IV 减去 1 个波动率点的长期溢价，原因）。以前，Kelly 给每笔交易定仓位时都假设这个预测完全准确。

但它并不准。波动率预测研究测量了实现波动率离这类预测有多远：高或低四分之一都很常见。而这个误差的影响并不对称。信用价差（credit spread）在波动率平静时赚得少，不平静时亏得多，所以只按区间中心定仓位会下注过多。

Kelly 现在使用的区间

log RV ~ Normal( log c − s²/2 , s² ),   s² = 0.064  →  s = 0.253
区间上半部分：离散度 × 1.143

• c 是定仓位用的波动率：0.95 × ATM IV（本研究进行时为 ATM IV − 1 个点），或交易者自己的波动率观点向市场收缩一半后的值。
• c 是区间的均值。 −s²/2 的平移让平均结果落在预测值上，因为预测本身是按平均值拟合的（IV 均值减 RV 均值）。数据在每个窗口长度上都支持这一点。
• 每个期限宽度都一样。 研究测得的离散度混了两样东西。一是真正的不确定性：市场比预期更平静或更剧烈，这会改变期权收益。二是测量噪声：几天的实现波动率只由几次日波动算出，就像只抛五次硬币来判断它是否公平。五天里，真实 13 % 的波动率有五分之四的时间会被测成约 9 % 到 20 % 之间的任何值。这种噪声不会改变价格最终能走多远，而期权收益只看这个，所以区间只保留真实的部分。一个更早、更宽的版本把噪声也算了进去（5 天时离散度 0.49），会让短期交易被当作市场比实际不确定一倍来定仓。
• 更重的高波动一侧（尾部折扣，tail haircut）。 区间上半部分加宽 14 %，使 7.5 % 的结果落在原区间第 95 百分位之上，而不是 5 %。近几年实际是 6–9 %，而对卖权利金的一方，那正是亏钱的一侧。加上它之后，区间均值比 c 高约 2 %。

Kelly 如何使用这个区间

1. 取期权链的 smile（波动率微笑，每个行权价一个隐含波动率），把它转换成到期价格的分布，并缩放到平值波动率等于预测值 c。
2. 在实现波动率的区间上取 32 个点，中位数两侧各 16 个，并附上概率权重（每一半各用一组 Gauss quadrature，即高斯求积，所以中位数处的折点能精确处理）。
3. 在每个点上，把价格分布拉伸到该波动率：每个对数收益乘以 σ点 / c。微笑的偏斜和厚尾保持原有形状。
4. 把 32 个分布按各自的概率加权合在一起，求出在所有分布上同时让对数增长期望最大的同一个 Kelly 比例。

这不是 32 个单独 Kelly 比例的平均。Kelly 回答的是：不知道自己身处哪一种情形时，哪一个仓位让财富增长最快？在高波动情形里亏损会急剧放大的交易，得到的答案更小。跨到期月的交易（如日历价差）仍和以前一样按市场 IV 定仓。

2026-09-30 收盘的十个推荐

真实期权链，记录于 2026-09-30 收盘。除 IM 深度虚值牛市看跌价差是按报价手工构造外，其余都是优化器自己的推荐（中等风险偏好）；全部通过成本检查。腿的写法：+ 买入，− 卖出，P 看跌，C 看涨；IM 的行权价是指数点位。两个买波动率的推荐假设交易者的观点为 ATM IV + 5 个点，按一半可信度定仓。

当日定仓位用的波动率：12.81 %（50ETF）、15.71 %（300ETF）、24.88 %（IM），两个买波动率观点为 16.31 % / 28.38 %。前三者的 80 % 区间：9.0–18.0 %、11.0–22.0 %、17.4–34.9 %。

合约数几乎不变：只要满仓 Kelly 达到 0.10，5 % 的上限就会起作用；而一张 IM 合约本身就占 ¥100 万的 1.7–5.8 % 风险。真正传递信号的是比例和评级。

为什么有的交易变大，有的变小

对波动率取平均，会通过两个效应改变一笔交易的 Kelly 比例。一是期望值随波动率变化的弯曲：向上弯的价值曲线会从不确定性中获益。二是结果更分散，而对数增长不喜欢分散。由于高波动一侧更重，对大多数卖方来说第二个效应占上风。

• 铁鹰式和深度虚值价差缩小得最多。 一旦高波动把价格推过卖出的行权价，亏损就会加速，而更重的上半部分正好加重了这些结果。IM 深度虚值牛市看跌价差的期望值从预测值处的每张 +¥160 变成整个区间上的 −¥27，所以仓位为 0。
• 近平值信用价差缩小得较少（IM 近平值牛市看跌价差 0.086 → 0.072，50ETF 牛市看跌价差 0.148 → 0.119）。它们的亏损有上限，限制了高波动一周里的损害。
• 铁蝶式和借方价差可能变大（IM 铁蝶式 0.072 → 0.087）。在预测值附近，它们的价值随波动率向上弯。
• 跨式和宽跨式多头略微变大：它们在更重的高波动一侧赚钱。
• 裸卖期权风险无上限，所以在考虑任何区间之前，Kelly 就把它定为 0。

更新，2026-10-09。 本站现在把净卖出看跌（short put）视为亏损有上限：标的跌到零时亏损就停止。它有自己的“下行风险大”Kelly 结论，仓位由每笔 5 % 的上限决定，而不是由 Kelly 比例决定。只有净卖出看涨仍然风险无上限。上面的 300ETF 卖出看跌一行及其图是在这一改动之前算出的。

对看板的影响

在 2026-09-30 收盘数据上重放标准看板请求（六个标的，所有剩余至少 14 天的月份，中等风险偏好）：47 个可交易推荐（通过成本检查且风险有限）。

25 个推荐变大，22 个变小；没有一个降到零。按结构看，现在与以前比例的中位数：铁鹰式 0.68，牛市看跌价差 0.86，熊市看涨价差 0.91，铁蝶式 1.00，牛市看涨价差 1.14，蝶式 1.22，熊市看跌价差 1.33。

局限与注意事项

• 大部分缩小来自尾部折扣。 如果没有它，单靠区间本身，ETF 卖波动率推荐的变化不到 10 %。尾部折扣基于 27 个到期月（近期有 6–9 % 的结果高于第 95 百分位，全部历史上是 4.6 %），所以它是有意留出的安全边际，而不是测量出的事实。
• 区间的中心放在哪里最关键。 预测是按实现波动率的均值拟合的。如果把它当作中位数，区间均值会抬高，所有卖波动率的推荐仓位都会降到接近零。
• 宽度是在 QVIX（波动率指数）上拟合，再用到平值 IV 上的，只有 27 个到期月和一次压力事件（2024 年 9 月的行情）。随着更多到期月结束，宽度、溢价和尾部折扣都会重新拟合。
• 分布如何加宽是一个建模选择。 每个点拉伸的是预测微笑的对数收益，保留偏斜。另一种做法是在每个点用缩放后的 IV 重建微笑，试过后发现不收敛，而且仓位会更大。
• 只是一天的收盘。 十个推荐和看板重放都是同一时点的快照。效应的方向是结构性的，具体数字不是。
• Kelly 的好坏取决于它的概率。 即使在区间上取平均，它也假设这个区间是对的。这就是本站建议半 Kelly 并设 5 % 上限的原因。

自己复现

脚本 kelly_range.py（见下方下载）是定仓计算的独立副本：预测、带尾部折扣的区间、32 点求积、从微笑到分布的转换，以及混合分布上的对数最优 Kelly 比例。只需要 numpy 和 scipy。

输入。 区间只需要定仓位用的波动率。给一笔交易定仓需要一条期权链：远期价格、距到期的交易日数、每个行权价一个隐含波动率，以及各条腿和它们的成交价。区间的参数（0.064、1 个点的溢价和 7.5 % 的尾部目标）来自波动率预测研究和溢价回测，它们用的是公开数据：QVIX 波动率指数（AKShare index_option_50etf_qvix 等同类函数，自 2015-02-09 起）和新浪 ETF 收盘价。

区间与求积点：

def forecast_range(centre, sd=0.253, tail=True, nodes=31):
    median = centre * exp(-0.5 * sd * sd)          # c 是均值
    if tail:                                       # 每一半 16 个高斯点
        u, wu = half_range_rule((nodes + 1) // 2)  # 半正态求积
        z = concatenate([-u[::-1], u * TAIL_K])    # 上半部分 x 1.143
        w = concatenate([wu[::-1], wu]) / 2.0
    else:
        z, w = hermegauss(nodes); w = w / w.sum()
    sigmas = clip(median * exp(sd * z), 0.01, 5 * centre)
    return sigmas, w

混合分布上的 Kelly：

point = market.scaled(centre / atm_iv)             # 微笑缩放到预测值
pnls, weights = [], []
for sigma_k, w_k in zip(sigmas, w):
    node = point.return_scaled(sigma_k / centre)   # 拉伸对数收益
    pnls.append(node.pnl(legs))                    # 到期每股盈亏
    weights.append(w_k * node.masses)
f = log_optimal_fraction(concatenate(pnls), concatenate(weights), max_loss)
half_kelly = min(f / 2, 0.05)

log_optimal_fraction 求 Σ w × log(1 + f × 盈亏 / 最大亏损) 的斜率为零时的 f（斜率严格递减，所以用区间求根即可）；期望盈亏不为正时返回 0。

运行方法：

pip install -r requirements.txt     # 或：pip install numpy scipy
python kelly_range.py               # 区间 + 一条模拟的 50ETF 式期权链
python kelly_range.py --centre 0.25 # 某个定仓波动率的区间
python kelly_range.py --chain my_chain.json   # 你自己的期权链和腿

你应该看到什么。 区间部分会精确打印上文引用的 80 % 区间：12.81 % → 9.0–18.0 %，15.71 % → 11.0–22.0 %，24.88 % → 17.4–34.9 %，区间均值比定仓波动率高 2.0 %。默认运行随后在一条模拟期权链上（远期 3.05，15 个交易日，ATM IV 14 %，看跌偏斜，每条腿两个最小价位的买卖价差成本）给三笔交易定仓，规律与真实推荐相同：近平值牛市看跌价差 0.128 → 0.116，深度虚值牛市看跌价差 0.326 → 0，铁鹰式 0.177 → 0.084。每笔还会打印“假如波动率固定”的 Kelly 曲线。

如何验证。 十个推荐的表格需要记录下来的 2026-09-30 期权链，它们来自商业数据供应商，不能再分发，所以默认运行改用模拟期权链。在记录的期权链上，脚本算出的 Kelly 比例与本站自己的定仓代码相差不超过 1e-9，并且对检查的六个推荐（单个数和整个区间两种定仓都检查：50ETF 牛市看跌价差、300ETF 熊市看涨价差和铁鹰式、IM 铁鹰式、两个 IM 牛市看跌价差）逐位复现了表中印出的所有小数。区间的点和权重与本站一致到 1e-14。每当本站的定仓代码变化，自动化测试都会重新检查这些结果。